関数 $y = \frac{\sin^{-1} x}{\cos^{-1} x}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\sin^{-1} x}{\cos^{-1} x}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を利用します。商の微分公式は次のとおりです。

$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = \sin^{-1} x$、$v = \cos^{-1} x$ とします。

$\sin^{-1} x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ なので、$u' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ です。

$\cos^{-1} x$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ なので、$v' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ です。

したがって、

$y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cos^{-1} x - \sin^{-1} x \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)}{\left(\cos^{-1} x\right)^2}$

$y' = \frac{\frac{\cos^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}}{\left(\cos^{-1} x\right)^2}$

$y' = \frac{\frac{\cos^{-1} x + \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}}{\left(\cos^{-1} x\right)^2}$

$\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ であることを利用すると、

$y' = \frac{\frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}}}{\left(\cos^{-1} x\right)^2}$

$y' = \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}\left(\cos^{-1} x\right)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1} x)^2}$