関数 $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ の $-2 < x < 2$ における最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ の $-2 < x < 2$ における最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2$ とおくと、$0 \leq t < 4$ となり、$f(x)$ は $t$ の関数として $g(t) = t^2 - 2t + 3$ と表せます。

$g(t)$ を平方完成すると、

$$g(t) = (t - 1)^2 + 2$$

となります。

$g(t)$ は $t = 1$ で最小値 $2$ をとります。

ここで、$t = x^2$ なので、$x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$ となります。これらの値は $-2 < x < 2$ の範囲に含まれます。

したがって、$x = \pm 1$ のとき、$f(x)$ は最小値 $2$ をとります。

次に、区間の端点での値を確認します。$x$ が $-2$ または $2$ に近づくとき、$x^2$ は $4$ に近づきます。

$g(4) = (4-1)^2 + 2 = 3^2 + 2 = 11$

$x=\pm 2$のとき$f(x) = 16 - 2*4 + 3 = 11$となりますが、定義域に端点が含まれていないため$x$は$\pm 2$の値を取ることはありません。

したがって、最小値は $x = \pm 1$ のときの $2$ です。

3. 最終的な答え

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