$\int \frac{dx}{\cos x}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{\cos x}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\cos x}$ に $\frac{\cos x}{\cos x}$ をかけます。

$$\int \frac{dx}{\cos x} = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx$$

次に、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ であることを利用します。

$$\int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx$$

ここで、$t = \sin x$ と置換すると、$dt = \cos x dx$ となります。

$$\int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx = \int \frac{dt}{1 - t^2}$$

部分分数分解を用いて、積分を計算しやすい形に変形します。

$$\frac{1}{1 - t^2} = \frac{1}{(1 - t)(1 + t)} = \frac{A}{1 - t} + \frac{B}{1 + t}$$

$1 = A(1 + t) + B(1 - t)$ を満たす $A, B$ を求めます。

$t = 1$ のとき、$1 = 2A$ より、$A = \frac{1}{2}$

$t = -1$ のとき、$1 = 2B$ より、$B = \frac{1}{2}$

したがって、

$$\frac{1}{1 - t^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} \right)$$

積分を計算します。

$$\int \frac{dt}{1 - t^2} = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t} \right) dt = \frac{1}{2} (-\log |1 - t| + \log |1 + t|) + C$$

ここで、$t = \sin x$ を代入します。

$$\frac{1}{2} (-\log |1 - \sin x| + \log |1 + \sin x|) + C = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| + C$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| + C$