与えられた関数 $y = x^4 - 2x^3 + 2$ の凹凸を調べる問題です。$x$ の範囲によって、グラフが上に凸か下に凸かを答えます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^4 - 2x^3 + 2$ の凹凸を調べる問題です。$x$ の範囲によって、グラフが上に凸か下に凸かを答えます。

2. 解き方の手順

グラフの凹凸は2階微分によって決定されます。

1. 与えられた関数 $y = x^4 - 2x^3 + 2$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 6x^2$

2. さらに $x$ で微分し、2階微分を求めます。

$\frac{d^2y}{dx^2} = 12x^2 - 12x = 12x(x-1)$

3. $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは凹凸が変わる点（変曲点）の候補です。

$12x(x-1) = 0$ より、 $x = 0, 1$

4. $x < 0$, $0 < x < 1$, $1 < x$ の範囲で、$\frac{d^2y}{dx^2}$ の符号を調べます。

* $x < 0$ のとき、例えば $x = -1$ を代入すると $\frac{d^2y}{dx^2} = 12(-1)(-1-1) = 24 > 0$ なので、下に凸。

* $0 < x < 1$ のとき、例えば $x = 0.5$ を代入すると $\frac{d^2y}{dx^2} = 12(0.5)(0.5-1) = -3 < 0$ なので、上に凸。

* $1 < x$ のとき、例えば $x = 2$ を代入すると $\frac{d^2y}{dx^2} = 12(2)(2-1) = 24 > 0$ なので、下に凸。

5. したがって、$x < 0$ で下に凸、$0 < x < 1$ で上に凸、$1 < x$ で下に凸となります。

3. 最終的な答え

[1]: 0

[2]: 0

[3]: 上

[4]: 1

[5]: 1

[6]: 上