$\mathbb{R}^3$ において、閉曲面 $S$ を領域 $V$ の境界面とします。$\vec{r} = xi + yj + zk$, $r = |\vec{r}|$ とします。原点 $O$ が $V$ の内部にあるとき、以下の等式を示します。 $\displaystyle \int_S \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot \vec{n} dS = 4\pi$ ただし、$\vec{n}$ は $S$ の法単位ベクトルで $S$ の外側を向いているものとします。

解析学ベクトル解析発散定理面積分
2025/7/7

1. 問題の内容

R3\mathbb{R}^3 において、閉曲面 SS を領域 VV の境界面とします。r=xi+yj+zk\vec{r} = xi + yj + zk, r=rr = |\vec{r}| とします。原点 OOVV の内部にあるとき、以下の等式を示します。
Srr3ndS=4π\displaystyle \int_S \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot \vec{n} dS = 4\pi
ただし、n\vec{n}SS の法単位ベクトルで SS の外側を向いているものとします。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル場 F=rr3\vec{F} = \frac{\vec{r}}{r^3} の発散を計算します。r=(x,y,z)\vec{r} = (x, y, z) より、 r=x2+y2+z2r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} です。
F=(x,y,z)(x2+y2+z2)3/2\vec{F} = \frac{(x, y, z)}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}
divF=xxr3+yyr3+zzr3\mathrm{div} \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{r^3} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{r^3} + \frac{\partial}{\partial z} \frac{z}{r^3}
xxr3=r3x(3r2xr)r6=r23x2r5\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{r^3} = \frac{r^3 - x(3r^2 \frac{x}{r})}{r^6} = \frac{r^2 - 3x^2}{r^5}
同様に、
yyr3=r23y2r5\frac{\partial}{\partial y} \frac{y}{r^3} = \frac{r^2 - 3y^2}{r^5}
zzr3=r23z2r5\frac{\partial}{\partial z} \frac{z}{r^3} = \frac{r^2 - 3z^2}{r^5}
したがって、
divF=3r23(x2+y2+z2)r5=3r23r2r5=0\mathrm{div} \vec{F} = \frac{3r^2 - 3(x^2 + y^2 + z^2)}{r^5} = \frac{3r^2 - 3r^2}{r^5} = 0 (ただし、r0\vec{r} \neq \vec{0})。
次に、原点 OO を囲む十分小さな半径 ϵ\epsilon の球面 SϵS_\epsilon を考えます。SSSϵS_\epsilon で囲まれた領域を VV' とすると、divF=0\mathrm{div} \vec{F} = 0 なので、発散定理より
VdivFdV=VFndS=0\displaystyle \int_{V'} \mathrm{div} \vec{F} dV = \int_{\partial V'} \vec{F} \cdot \vec{n} dS = 0
V=SSϵ\partial V' = S - S_\epsilon なので、
SFndSSϵFndS=0\displaystyle \int_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS - \int_{S_\epsilon} \vec{F} \cdot \vec{n} dS = 0
SFndS=SϵFndS\displaystyle \int_S \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \int_{S_\epsilon} \vec{F} \cdot \vec{n} dS
球面 SϵS_\epsilon 上では、r=ϵn\vec{r} = \epsilon \vec{n} なので、
Sϵrr3ndS=Sϵϵnϵ3ndS=Sϵ1ϵ2dS=1ϵ2SϵdS\displaystyle \int_{S_\epsilon} \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot \vec{n} dS = \int_{S_\epsilon} \frac{\epsilon \vec{n}}{\epsilon^3} \cdot \vec{n} dS = \int_{S_\epsilon} \frac{1}{\epsilon^2} dS = \frac{1}{\epsilon^2} \int_{S_\epsilon} dS
球面の表面積は 4πϵ24\pi \epsilon^2 なので、
1ϵ2SϵdS=1ϵ2(4πϵ2)=4π\displaystyle \frac{1}{\epsilon^2} \int_{S_\epsilon} dS = \frac{1}{\epsilon^2} (4\pi \epsilon^2) = 4\pi
したがって、
Srr3ndS=4π\displaystyle \int_S \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot \vec{n} dS = 4\pi

3. 最終的な答え

Srr3ndS=4π\displaystyle \int_S \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot \vec{n} dS = 4\pi

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