$\mathbb{R}^3$ において、閉曲面 $S$ を領域 $V$ の境界面とします。$\vec{r} = xi + yj + zk$, $r = |\vec{r}|$ とします。原点 $O$ が $V$ の内部にあるとき、以下の等式を示します。 $\displaystyle \int_S \frac{\vec{r}}{r^3} \cdot \vec{n} dS = 4\pi$ ただし、$\vec{n}$ は $S$ の法単位ベクトルで $S$ の外側を向いているものとします。
2025/7/7
1. 問題の内容
において、閉曲面 を領域 の境界面とします。, とします。原点 が の内部にあるとき、以下の等式を示します。
ただし、 は の法単位ベクトルで の外側を向いているものとします。
2. 解き方の手順
まず、ベクトル場 の発散を計算します。 より、 です。
同様に、
したがって、
(ただし、)。
次に、原点 を囲む十分小さな半径 の球面 を考えます。 と で囲まれた領域を とすると、 なので、発散定理より
なので、
球面 上では、 なので、
球面の表面積は なので、
したがって、