与えられた関数 $y = x^4 - 2x^3 + 2$ の凹凸を調べる問題です。具体的には、以下の区間における凹凸を答える必要があります。 * $x < \text{【1】}$ * $\text{【2】} < x < \text{【4】}$ * $\text{【5】} < x$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^4 - 2x^3 + 2$ の凹凸を調べる問題です。具体的には、以下の区間における凹凸を答える必要があります。

* $x < \text{【1】}$

* $\text{【2】} < x < \text{【4】}$

* $\text{【5】} < x$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = x^4 - 2x^3 + 2$ を2回微分します。

1階微分:

$y' = 4x^3 - 6x^2$

2階微分:

$y'' = 12x^2 - 12x = 12x(x - 1)$

凹凸を調べるためには、$y''$ の符号を調べます。$y'' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$12x(x - 1) = 0$ より、$x = 0$ または $x = 1$ となります。

次に、$x$ の区間を分けて $y''$ の符号を調べます。

* $x < 0$ のとき、$x < 0$ かつ $x - 1 < 0$ なので、$y'' = 12x(x - 1) > 0$ (下に凸)

* $0 < x < 1$ のとき、$x > 0$ かつ $x - 1 < 0$ なので、$y'' = 12x(x - 1) < 0$ (上に凸)

* $x > 1$ のとき、$x > 0$ かつ $x - 1 > 0$ なので、$y'' = 12x(x - 1) > 0$ (下に凸)

問題の形式に合わせて記述します。

* $x < 0$ のとき、下に凸であるから、問題文に合わせて「上に凸」ではない。

* $0 < x < 1$ のとき、上に凸

* $1 < x$ のとき、下に凸であるから、問題文に合わせて「上に凸」ではない。

3. 最終的な答え

【1】 0

【2】 0

【3】 下

【4】 1

【5】 1

【6】 下