与えられた関数 $y = \tan^{-1}(\frac{3}{4}x)$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan^{-1}(\frac{3}{4}x)$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆三角関数 $\tan^{-1}(x)$ の微分公式は $\frac{d}{dx} \tan^{-1}(x) = \frac{1}{1+x^2}$ です。

今回の問題では $\tan^{-1}$ の引数が $\frac{3}{4}x$ となっているので、合成関数の微分を行う必要があります。

まず、$u = \frac{3}{4}x$ と置きます。すると、$y = \tan^{-1}(u)$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2}$ であり、$u = \frac{3}{4}x$ なので $\frac{du}{dx} = \frac{3}{4}$ となります。

合成関数の微分法則（連鎖律）より、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{1+(\frac{3}{4}x)^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{1+\frac{9}{16}x^2} \cdot \frac{3}{4}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{16+9x^2}{16}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{16}{16+9x^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{4}{16+9x^2} \cdot 3 = \frac{12}{16+9x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{12}{16+9x^2}$