与えられた関数 $f(x, y)$ と $g(x, y)$ に対して、以下の問いに答えます。 (1) $a \neq 0$ のとき、$\lim_{x \to 0} f(x, a)$ と $\lim_{y \to 0} f(a, y)$ を求めます。 (2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0)$ と $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0)$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ と $g(x, y)$ に対して、以下の問いに答えます。

(1) $a \neq 0$ のとき、$\lim_{x \to 0} f(x, a)$ と $\lim_{y \to 0} f(a, y)$ を求めます。

(2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0)$ と $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 極限を求める

まず、$f(x, y)$ の定義を確認します。

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{x}{y} \arctan(\frac{y}{x}) - \frac{y}{x} \arctan(\frac{x}{y}), & xy \neq 0 \\

0, & xy = 0

\end{cases}$

$a \neq 0$ なので、$x \to 0$ のとき、$xa \neq 0$。

したがって、

$\lim_{x \to 0} f(x, a) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{a} \arctan\left(\frac{a}{x}\right) - \frac{a}{x} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) \right)$

ここで、$t = \frac{x}{a}$ と置くと、$x = at$ であり、$x \to 0$ のとき $t \to 0$。

$\lim_{x \to 0} f(x, a) = \lim_{t \to 0} \left( t \arctan\left(\frac{1}{t}\right) - \frac{1}{t} \arctan(t) \right)$

$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t} = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} f(x, a) = \lim_{t \to 0} \left( t \arctan\left(\frac{1}{t}\right) - \frac{1}{t} \arctan(t) \right) = 0 - 1 = -1$。

次に、$y \to 0$ のとき、$ay \neq 0$。したがって、

$\lim_{y \to 0} f(a, y) = \lim_{y \to 0} \left( \frac{a}{y} \arctan\left(\frac{y}{a}\right) - \frac{y}{a} \arctan\left(\frac{a}{y}\right) \right)$

ここで、$t = \frac{y}{a}$ と置くと、$y = at$ であり、$y \to 0$ のとき $t \to 0$。

$\lim_{y \to 0} f(a, y) = \lim_{t \to 0} \left( \frac{1}{t} \arctan(t) - t \arctan\left(\frac{1}{t}\right) \right)$

$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t} = 1$ なので、

$\lim_{y \to 0} f(a, y) = \lim_{t \to 0} \left( \frac{1}{t} \arctan(t) - t \arctan\left(\frac{1}{t}\right) \right) = 1 - 0 = 1$。

(2) 偏微分を求める

$g(x, y) = xy f(x, y)$ なので、$xy \neq 0$ のとき、

$g(x, y) = xy \left( \frac{x}{y} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{x} \arctan\left(\frac{x}{y}\right) \right) = x^2 \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - y^2 \arctan\left(\frac{x}{y}\right)$

$xy = 0$ のとき、$g(x, y) = 0$。

したがって、$g(x, y)$ は連続であることがわかる。

まず、偏微分を定義に従って計算します。

$\frac{\partial g}{\partial y}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(0, h) - g(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

$\frac{\partial g}{\partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(h, 0) - g(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

次に、$x \neq 0, y \neq 0$ における $\frac{\partial g}{\partial y}$ を計算します。

$\frac{\partial g}{\partial y} = x^2 \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{1}{x} - 2y \arctan(\frac{x}{y}) - y^2 \frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^2} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = \frac{x^3}{x^2 + y^2} - 2y \arctan(\frac{x}{y}) + \frac{x y^2}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial g}{\partial y}(h, 0) - \frac{\partial g}{\partial y}(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^3}{h^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1$

次に、$x \neq 0, y \neq 0$ における $\frac{\partial g}{\partial x}$ を計算します。

$\frac{\partial g}{\partial x} = 2x \arctan(\frac{y}{x}) + x^2 \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) - y^2 \frac{1}{1 + (\frac{x}{y})^2} \cdot \frac{1}{y} = 2x \arctan(\frac{y}{x}) - \frac{x y}{x^2 + y^2} - \frac{y^3}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial g}{\partial x}(0, h) - \frac{\partial g}{\partial x}(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h^3}{h^2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} f(x, a) = -1$, $\lim_{y \to 0} f(a, y) = 1$

(2) $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0, 0) = 1$, $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0, 0) = -1$