微分可能な関数 $y=f(x)$ に関する次の記述のうち、妥当なものをすべて選ぶ問題です。 1. 微分係数が0となる $x$ の値は、関数 $y=f(x)$ の増減の境目となる。

1. 問題の内容

微分可能な関数 $y=f(x)$ に関する次の記述のうち、妥当なものをすべて選ぶ問題です。

1. 微分係数が0となる $x$ の値は、関数 $y=f(x)$ の増減の境目となる。

2. 微分係数を利用することで、関数 $y=f(x)$ のグラフの接線を表す式が得られる。

3. $x=a$ における微分係数が0となるなら、関数 $y=f(x)$ はそこで極値をとる。

4. $x$ の増える範囲で $y$ が増える（減る）なら、微分係数は正（負）になる。

2. 解き方の手順

1. の記述について：

微分係数が0となる点は、関数の増減が切り替わる可能性のある点です。しかし、常に切り替わるわけではありません。例えば、$y = x^3$ は $x=0$ で微分係数が0ですが、常に増加関数です。したがって、増減の境目となる *可能性がある* という意味で、この記述は妥当です。

2. の記述について：

微分係数は、グラフの接線の傾きを表します。ある点 $(x_0, f(x_0))$ における微分係数を $f'(x_0)$ とすると、接線の方程式は $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ と表されます。よって、微分係数を利用して接線の方程式が得られるので、この記述は妥当です。

3. の記述について：

$x=a$ で微分係数が0でも、そこで極値を取るとは限りません。例えば、$y = x^3$ は $x=0$ で微分係数が0ですが、極値を持ちません。したがって、この記述は妥当ではありません。

4. の記述について：

$x$ が増える範囲で $y$ が増えるとき、$f'(x) > 0$ となります。$x$ が増える範囲で $y$ が減る時、$f'(x) < 0$ となります。したがって、この記述は妥当です。

3. 最終的な答え

妥当な記述は、1、2、4です。