関数 $f(a) = \int_{0}^{1} |(x-a)(x-1)| dx$ が与えられています。$0 \le a \le 1$ の範囲で $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(a) = \int_{0}^{1} |(x-a)(x-1)| dx$ が与えられています。$0 \le a \le 1$ の範囲で $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の絶対値を外すことを考えます。$0 \le x \le 1$ の範囲で $x-1 \le 0$ なので、$(x-a)(x-1)$ の符号は $x-a$ の符号で決まります。

$0 \le a \le 1$ なので、$x < a$ のとき $(x-a)(x-1) > 0$、 $x > a$ のとき $(x-a)(x-1) < 0$ となります。

したがって、$| (x-a)(x-1) | = \begin{cases} (x-a)(1-x) & (0 \le x \le a) \\ (a-x)(x-1) = (a-x)(1-x)(-1) & (a \le x \le 1) \end{cases}$

よって、$f(a) = \int_{0}^{a} (x-a)(x-1) dx + \int_{a}^{1} (a-x)(x-1) dx = \int_{0}^{a} (x^2 - (a+1)x + a) dx + \int_{a}^{1} (-x^2 + (a+1)x - a) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{a} (x^2 - (a+1)x + a) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{a+1}{2}x^2 + ax \right]_0^a = \frac{1}{3}a^3 - \frac{a+1}{2}a^2 + a^2 = \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{2}a^2 + a^2 = -\frac{1}{6}a^3 + \frac{1}{2}a^2$

$\int_{a}^{1} (-x^2 + (a+1)x - a) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{a+1}{2}x^2 - ax \right]_a^1 = (-\frac{1}{3} + \frac{a+1}{2} - a) - (-\frac{1}{3}a^3 + \frac{a+1}{2}a^2 - a^2) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2}a + \frac{1}{2} - a + \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{2}a^2 + a^2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{2}a - \frac{1}{6}a^3 + \frac{1}{2}a^2$

したがって、$f(a) = (-\frac{1}{6}a^3 + \frac{1}{2}a^2) + (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{6}a^3) = -\frac{1}{3}a^3 + a^2 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{6}$

次に、$f'(a)$ を求めます。

$f'(a) = -a^2 + 2a - \frac{1}{2}$

$f'(a) = 0$ となる $a$ を求めます。

$-a^2 + 2a - \frac{1}{2} = 0$

$a^2 - 2a + \frac{1}{2} = 0$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \le a \le 1$ なので、$a = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1 - 0.707 = 0.293$ のみ考えます。

$f''(a) = -2a + 2$

$f''(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + 2 = -2 + \sqrt{2} + 2 = \sqrt{2} > 0$ なので、$a = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ で $f(a)$ は極小値を取ります。

$a = 0$ のとき、$f(0) = \frac{1}{6}$

$a = 1$ のとき、$f(1) = -\frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{2}{6} + \frac{6}{6} - \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$a = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$f(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{1}{3}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})^3 + (1-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{2}(1-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{6}$

最小値を与える候補は $a = 0, 1, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、それぞれの$f(a)$の値を比較します。

$f(0) = 1/6$

$f(1) = 1/3$

$f(1-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5\sqrt{2}-7}{12} \approx 0.0718 < 1/6 = 0.16666$

よって、$a = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ のときに $f(a)$ は最小になります。

3. 最終的な答え

$a = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$