連続関数 $f(x)$ が次の等式を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。 $$f(x) = \int_0^2 xf''(t) dt + \int_0^x e^{x-t} dt$$

1. 問題の内容

連続関数 $f(x)$ が次の等式を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

$$f(x) = \int_0^2 xf''(t) dt + \int_0^x e^{x-t} dt$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。定積分の中に $x$ が含まれているので、積分記号の外に出します。

$$f(x) = x\int_0^2 f''(t) dt + \int_0^x e^{x-t} dt$$

ここで、$\int_0^2 f''(t) dt$ は定数であることに注意し、これを $A$ とおきます。すなわち、

$$A = \int_0^2 f''(t) dt$$

とすると、

$$f(x) = Ax + \int_0^x e^{x-t} dt$$

となります。次に、$\int_0^x e^{x-t} dt$ を計算します。

$$\int_0^x e^{x-t} dt = e^x \int_0^x e^{-t} dt = e^x [-e^{-t}]_0^x = e^x (-e^{-x} - (-e^0)) = e^x (-e^{-x} + 1) = -1 + e^x$$

したがって、

$$f(x) = Ax - 1 + e^x$$

ここで、$A = \int_0^2 f''(t) dt$ でしたので、まず $f'(x)$ と $f''(x)$ を計算します。

$$f'(x) = A + e^x$$

$$f''(x) = e^x$$

したがって、

$$A = \int_0^2 e^t dt = [e^t]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1$$

よって、$A = e^2 - 1$ であるので、

$$f(x) = (e^2 - 1)x - 1 + e^x$$

3. 最終的な答え

$$f(x) = (e^2 - 1)x + e^x - 1$$