問題は、関数 $\frac{1}{1+x}$ をべき級数で表すことです。与えられたべき級数は $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ であり、収束半径は $|x| < 1$ です。

1. 問題の内容

問題は、関数 $\frac{1}{1+x}$ をべき級数で表すことです。与えられたべき級数は $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ であり、収束半径は $|x| < 1$ です。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $\frac{1}{1+x}$ をべき級数で表すためには、等比級数の公式を利用します。等比級数の公式は、 $|r| < 1$ のとき、

$\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$

です。今回の問題では、$\frac{1}{1+x}$ を $\frac{1}{1-r}$ の形に変形するために、$r = -x$ とおきます。すると、

$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

となります。この級数が収束するのは、 $|-x| < 1$、つまり $|x| < 1$ のときです。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$, $|x| < 1$