問題は、$\frac{1}{1-x}$ が $1 + x + x^2 + \dots$ と等しく、さらにそれが無限級数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ で表されることを示しています。ただし、$|x| < 1$ という条件が与えられています。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{1}{1-x}$ が $1 + x + x^2 + \dots$ と等しく、さらにそれが無限級数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ で表されることを示しています。ただし、$|x| < 1$ という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

これは等比数列の和の公式を利用して解くことができます。

初項が1、公比が $x$ の等比数列の無限和は、

$$S = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$$

と表されます。この無限和は、$|x|<1$ のとき収束し、その和は次の式で表されます。

$$S = \frac{1}{1-x}$$

したがって、

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$$

が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad (|x|<1)$$