問題は、$\frac{x^k}{1-x}$ をべき級数で表し、その結果が $x^k + x^{k+1} + x^{k+2} + \dots = \sum_{n=k}^{\infty} x^n$ となることを示すことです。ただし、 $|x| < 1$ という条件が与えられています。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{x^k}{1-x}$ をべき級数で表し、その結果が $x^k + x^{k+1} + x^{k+2} + \dots = \sum_{n=k}^{\infty} x^n$ となることを示すことです。ただし、 $|x| < 1$ という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、基本的な幾何級数の公式を思い出します。

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x| < 1$$

この公式の両辺に $x^k$ を掛けると、次のようになります。

$$\frac{x^k}{1-x} = x^k \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x| < 1$$

次に、右辺の和の中へ $x^k$ を入れます。

$$\frac{x^k}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n+k}, \quad |x| < 1$$

ここで、和の index を $m = n+k$ で置換します。すると、$n=0$ のとき $m=k$ となり、和は $m=k$ から $\infty$ までとなります。したがって、

$$\frac{x^k}{1-x} = \sum_{m=k}^{\infty} x^m, \quad |x| < 1$$

これは、問題文に与えられた式

$$\frac{x^k}{1-x} = x^k + x^{k+1} + x^{k+2} + \dots = \sum_{n=k}^{\infty} x^n, \quad |x| < 1$$

と同じです。

3. 最終的な答え

$\frac{x^k}{1-x} = \sum_{n=k}^{\infty} x^n$ （ただし、$|x| < 1$）