問題は、関数 $\frac{1}{1+x}$ をべき級数で表現するものです。 $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$ ここで、$|x| < 1$ の条件が与えられています。

1. 問題の内容

問題は、関数 $\frac{1}{1+x}$ をべき級数で表現するものです。

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \dots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

ここで、$|x| < 1$ の条件が与えられています。

2. 解き方の手順

この問題は、等比数列の和の公式を利用して解くことができます。

等比数列の和の公式は、

$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}$

です。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比です。

今回の問題では、

$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)}$

と変形できます。

これは、初項 $a=1$、公比 $r = -x$ の等比数列の和を表しています。したがって、

$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

となります。

この級数が収束するためには、公比の絶対値が1より小さくなければなりません。つまり、$|-x| < 1$ より、$|x| < 1$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$, $|x| < 1$