$\tan \frac{x}{2} = t$ とおいたとき、$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$となること、そして、$x = 2 \tan^{-1} t$から $\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$となることが与えられています。

1. 問題の内容

$\tan \frac{x}{2} = t$ とおいたとき、$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$となること、そして、$x = 2 \tan^{-1} t$から $\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$となることが与えられています。

2. 解き方の手順

問題文にすでに$\sin x$, $\cos x$, $\frac{dx}{dt}$ が $t$ で表されているので、解き方の手順としては特に何かを計算する必要はありません。これらの公式は、$\tan \frac{x}{2} = t$という変数変換を用いた三角関数の置換積分などで役立ちます。$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$ を逆にみれば、$\int \frac{2}{1+t^2} dt = x + C = 2 \tan^{-1} t + C$ となることも分かります。

3. 最終的な答え

問題文に与えられた公式

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$

が最終的な答えです。