与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x} \sin x \, dx$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた積分問題を解いてみます。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x} \sin x \, dx$

の値を求めます。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用いて解きます。

まず、$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x} \sin x \, dx$ とおきます。

1回目の部分積分：

$u = \sin x$, $dv = e^{-2x} dx$ とすると、

$du = \cos x dx$, $v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$

したがって、

$I = \left[ -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos x \, dx$

$I = -\frac{1}{2} e^{-\pi} \sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} e^{0} \sin 0 + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x} \cos x \, dx$

$I = -\frac{1}{2} e^{-\pi} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x} \cos x \, dx$

2回目の部分積分：

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x} \cos x \, dx$ に対して、

$u = \cos x$, $dv = e^{-2x} dx$ とすると、

$du = -\sin x dx$, $v = -\frac{1}{2} e^{-2x}$

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x} \cos x \, dx = \left[ -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} e^{-2x} \sin x \, dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x} \cos x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-\pi} \cos \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} e^{0} \cos 0 - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x} \sin x \, dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} I$

これらをまとめると、

$I = -\frac{1}{2} e^{-\pi} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} I \right)$

$I = -\frac{1}{2} e^{-\pi} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} I$

$I + \frac{1}{4} I = -\frac{1}{2} e^{-\pi} + \frac{1}{4}$

$\frac{5}{4} I = \frac{1 - 2e^{-\pi}}{4}$

$I = \frac{1 - 2e^{-\pi}}{5}$

$I = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} e^{-\pi}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-2x} \sin x \, dx = \frac{1 - 2e^{-\pi}}{5}$