$\tan{\frac{x}{2}} = t$ とおいたとき、$\sin{x}$ と $\cos{x}$ がそれぞれ $\frac{2t}{1+t^2}$ と $\frac{1-t^2}{1+t^2}$ で表されることを述べています。この問題は、この公式が成り立つことを利用して問題を解く際に役立ちます。

1. 問題の内容

$\tan{\frac{x}{2}} = t$ とおいたとき、$\sin{x}$ と $\cos{x}$ がそれぞれ $\frac{2t}{1+t^2}$ と $\frac{1-t^2}{1+t^2}$ で表されることを述べています。この問題は、この公式が成り立つことを利用して問題を解く際に役立ちます。

2. 解き方の手順

この問題は、公式を提示しているだけで、特定の計算を求めているわけではありません。しかし、$\sin x$ と $\cos x$ が与えられた式で表されることを示すには、以下の手順を踏みます。

まず、三角関数の倍角の公式を用います。

$\sin{x} = 2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}$

$\cos{x} = \cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}}$

次に、$\tan{\frac{x}{2}} = t$ という条件から、$\sin{\frac{x}{2}}$ と $\cos{\frac{x}{2}}$ を $t$ を用いて表します。

$\tan{\frac{x}{2}} = \frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}} = t$

$\cos{\frac{x}{2}} \neq 0$なので、$\sin{\frac{x}{2}} = t\cos{\frac{x}{2}}$となります。

$\sin^2{\frac{x}{2}} + \cos^2{\frac{x}{2}} = 1$に代入して計算します。

$(t\cos{\frac{x}{2}})^2 + \cos^2{\frac{x}{2}} = 1$

$(t^2 + 1)\cos^2{\frac{x}{2}} = 1$

$\cos^2{\frac{x}{2}} = \frac{1}{1+t^2}$

$\cos{\frac{x}{2}} = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$

$\sin{\frac{x}{2}} = t\cos{\frac{x}{2}}$ より、

$\sin{\frac{x}{2}} = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$

これらの結果を倍角の公式に代入します。

$\sin{x} = 2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}} = 2 \cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos{x} = \cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}} = \frac{1}{1+t^2} - \frac{t^2}{1+t^2} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

3. 最終的な答え

$\tan{\frac{x}{2}} = t$ とおくと、

$\sin{x} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos{x} = \frac{1-t^2}{1+t^2}$