定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos x$ の積分は $\sin x$ であり、$\sin x$ の積分は $-\cos x$ であることを思い出します。

よって、$\cos x - \sin x$ の積分は $\sin x + \cos x$ となります。

したがって、

$$$$

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}

$$$$

次に、積分の上限と下限を代入して計算します。

$$$$

[\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left(\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}\right) - (\sin 0 + \cos 0)

$$$$

$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 0 = 0$, $\cos 0 = 1$ を代入します。

$$$$

\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - (0 + 1) = \frac{2\sqrt{2}}{2} - 1 = \sqrt{2} - 1

$$$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} - 1$