与えられた積分 $\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形します。

$$\frac{\sin x}{1 + \sin x} = \frac{\sin x (1 - \sin x)}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)} = \frac{\sin x - \sin^2 x}{1 - \sin^2 x} = \frac{\sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} - \tan^2 x$$

ここで $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を用いると、

$$\frac{\sin x}{1 + \sin x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} - (\sec^2 x - 1) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} - \sec^2 x + 1$$

したがって、積分は

$$\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx = \int \left( \frac{\sin x}{\cos^2 x} - \sec^2 x + 1 \right) dx = \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx - \int \sec^2 x dx + \int 1 dx$$

ここで、$\int \sec^2 x dx = \tan x$ であり、$\int 1 dx = x$ です。

$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$ について、 $u = \cos x$ とおくと $du = -\sin x dx$ より、

$$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{-du}{u^2} = \int -u^{-2} du = u^{-1} = \frac{1}{u} = \frac{1}{\cos x} = \sec x$$

よって、

$$\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx = \sec x - \tan x + x + C$$

3. 最終的な答え

$\sec x - \tan x + x + C$