(1) $x$ が $a$ に限りなく近づくときの関数 $f(x)$ の極限に関する問題と、(2) $x$ が限りなく大きくなる（または小さくなる）ときの関数に関する問題です。

1. 問題の内容

(1) $x$ が $a$ に限りなく近づくときの関数 $f(x)$ の極限に関する問題と、(2) $x$ が限りなく大きくなる（または小さくなる）ときの関数に関する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x$ が定数 $a$ に限りなく近づくとき、関数 $f(x)$ が定数 $\alpha$ に限りなく近づくとき、$f(x)$ は $\alpha$ に収束すると言い、$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ と表します。また、$f(x) \to \alpha (x \to a)$ とも表します。 $\alpha$ は $f(x)$ の $a$ での極限値といいます。

関数 $f(x) = \frac{x+5}{x^2+x+1}$ は $x$ が限りなく大きくなるとき、0に収束します。式で $\lim_{x \to \infty} \frac{x+5}{x^2+x+1} = 0$ と表します。

(2) $x$ が限りなく大きくなる（または、小さくなる）ことを $x \to \infty$ (または $x \to -\infty$) で表します。$x$ が限りなく大きくなるとき、関数 $f(x) = x^2$ の値も限りなく大きくなるので、式で $\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$ と表します。

3. 最終的な答え

(1)

$\lim_{x \to a} f(x)$

極限値

$\lim_{x \to \infty} \frac{x+5}{x^2+x+1} = 0$

(2)

$\infty$

$-\infty$

$\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$