問題5では、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いて、次の極限を求める。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ 問題6では、$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ を用いて、次の極限を求める。 (1) $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{2}{x}}$ (2) $\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}}$ (3) $\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^{x}$

1. 問題の内容

問題5では、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を用いて、次の極限を求める。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

問題6では、$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ を用いて、次の極限を求める。

(1) $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{2}{x}}$

(2) $\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^{x}$

2. 解き方の手順

問題5

(1)

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin x}{x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 2 \cdot 1 = 2$

(2)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 = 4 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 4 \cdot 1 = 4$

(3)

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$

問題6

(1)

$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{2}{x}} = \lim_{x \to 0} ((1+x)^{\frac{1}{x}})^2 = (\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}})^2 = e^2$

(2)

$\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} ((1+2x)^{\frac{1}{2x}})^2 = (\lim_{x \to 0} (1+2x)^{\frac{1}{2x}})^2 = e^2$

(3)

$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e$

3. 最終的な答え

問題5

(1) 2

(2) 4

(3) 1

問題6

(1) $e^2$

(2) $e^2$

(3) $e$