与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = ky$ (ここで $k$ は定数)を解きます。これは変数分離形の微分方程式です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{dy}{dx} = ky$ (ここで $k$ は定数)を解きます。これは変数分離形の微分方程式です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を以下のように書き換えます。

$\frac{dy}{y} = k dx$

次に、両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y} = \int k dx$

左辺の積分は $\ln |y|$ となり、右辺の積分は $kx + C_1$ (ここで $C_1$ は積分定数)となります。したがって、

$\ln |y| = kx + C_1$

絶対値を外すと、

$y = \pm e^{kx + C_1}$

$y = \pm e^{C_1} e^{kx}$

$C = \pm e^{C_1}$ とおくと、$C$ は任意定数なので、

$y = Ce^{kx}$

3. 最終的な答え

$y = Ce^{kx}$ (Cは任意定数)