定積分 $\int_{0}^{1} (3x - 2)^5 dx$ を計算します。

## 問題１

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (3x - 2)^5 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を利用します。

$u = 3x - 2$ と置くと、$du = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3}du$ となります。

また、積分区間も変わります。

$x = 0$ のとき、$u = 3(0) - 2 = -2$

$x = 1$ のとき、$u = 3(1) - 2 = 1$

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{-2}^{1} u^5 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{-2}^{1} u^5 du$

$\int u^5 du = \frac{u^6}{6} + C$ より、

$\frac{1}{3} \int_{-2}^{1} u^5 du = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^6}{6} \right]_{-2}^{1} = \frac{1}{18} \left[ u^6 \right]_{-2}^{1} = \frac{1}{18} \left( 1^6 - (-2)^6 \right) = \frac{1}{18} (1 - 64) = \frac{1}{18} (-63) = -\frac{63}{18} = -\frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{7}{2}$

## 問題２

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (x^2-1)\sqrt{1-x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$t = \sqrt{1-x}$ と置換します。

$t^2 = 1-x$ より、$x = 1-t^2$。よって $dx = -2t \, dt$。

また、積分区間も変わります。

$x=0$ のとき、$t = \sqrt{1-0} = 1$

$x=1$ のとき、$t = \sqrt{1-1} = 0$

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{1}^{0} ((1-t^2)^2 - 1) t (-2t) \, dt = -2 \int_{1}^{0} (1 - 2t^2 + t^4 - 1)t^2 \, dt = -2 \int_{1}^{0} (-2t^2 + t^4)t^2 \, dt = -2 \int_{1}^{0} (-2t^4 + t^6) \, dt = 2 \int_{0}^{1} (-2t^4 + t^6) \, dt$

$2 \int_{0}^{1} (-2t^4 + t^6) \, dt = 2 \left[ -\frac{2}{5}t^5 + \frac{1}{7}t^7 \right]_0^1 = 2 \left( -\frac{2}{5} + \frac{1}{7} \right) = 2 \left( -\frac{14}{35} + \frac{5}{35} \right) = 2 \left( -\frac{9}{35} \right) = -\frac{18}{35}$

3. 最終的な答え

$-\frac{18}{35}$

## 問題３

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2+\cos x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = 2 + \cos x$ と置換します。

$du = -\sin x \, dx$ より $\sin x \, dx = -du$

積分区間も変わります。

$x = 0$ のとき、$u = 2 + \cos 0 = 2 + 1 = 3$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = 2 + \cos \frac{\pi}{2} = 2 + 0 = 2$

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{3}^{2} \frac{-du}{u} = - \int_{3}^{2} \frac{1}{u} \, du = \int_{2}^{3} \frac{1}{u} \, du = \left[ \ln |u| \right]_{2}^{3} = \ln 3 - \ln 2 = \ln \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\ln \frac{3}{2}$

## 問題４

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{3} \sqrt{9-x^2} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x = 3\sin \theta$ と置換します。

$dx = 3\cos \theta \, d\theta$

積分区間も変わります。

$x = 0$ のとき、$3\sin \theta = 0$ より $\sin \theta = 0$。よって $\theta = 0$

$x = 3$ のとき、$3\sin \theta = 3$ より $\sin \theta = 1$。よって $\theta = \frac{\pi}{2}$

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9 - (3\sin \theta)^2} (3\cos \theta) \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9 - 9\sin^2 \theta} (3\cos \theta) \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9(1-\sin^2 \theta)} (3\cos \theta) \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\cos \theta (3\cos \theta) \, d\theta = 9 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \, d\theta$

$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ より

$9 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{9}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta = \frac{9}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{9}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin \pi - (0 + \frac{1}{2} \sin 0) \right) = \frac{9}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 \right) = \frac{9\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\pi}{4}$