関数 $y = x^4 - 2x^3 + 2$ のグラフの凹凸を調べ、以下の空欄を埋めよ。 - $x < [1]$, $[2] < x$ で $[3]$ に凸 - $[4] < x < [5]$ で $[6]$ に凸

1. 問題の内容

関数 $y = x^4 - 2x^3 + 2$ のグラフの凹凸を調べ、以下の空欄を埋めよ。

- $x < [1]$, $[2] < x$ で $[3]$ に凸

- $[4] < x < [5]$ で $[6]$ に凸

2. 解き方の手順

グラフの凹凸を調べるには、2階微分 $y''$ を計算し、その符号を調べます。

1. まず、関数 $y$ を $x$ で微分して $y'$ を求めます。

$y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^3 + 2) = 4x^3 - 6x^2$

2. 次に、$y'$ をさらに $x$ で微分して $y''$ を求めます。

$y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 6x^2) = 12x^2 - 12x$

3. $y'' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$12x^2 - 12x = 0$

$12x(x - 1) = 0$

したがって、$x = 0$ または $x = 1$

4. $y''$ の符号を調べるために、$x < 0$, $0 < x < 1$, $x > 1$ の範囲で $y''$ の値を計算します。

- $x < 0$ のとき、$x = -1$ とすると、$y'' = 12(-1)^2 - 12(-1) = 12 + 12 = 24 > 0$

- $0 < x < 1$ のとき、$x = 0.5$ とすると、$y'' = 12(0.5)^2 - 12(0.5) = 12(0.25) - 6 = 3 - 6 = -3 < 0$

- $x > 1$ のとき、$x = 2$ とすると、$y'' = 12(2)^2 - 12(2) = 48 - 24 = 24 > 0$

5. $y'' > 0$ のとき、グラフは下に凸（上に凹）、$y'' < 0$ のとき、グラフは上に凸（下に凹）です。

- $x < 0$ のとき、$y'' > 0$ なので下に凸（上に凹）。

- $0 < x < 1$ のとき、$y'' < 0$ なので上に凸（下に凹）。

- $x > 1$ のとき、$y'' > 0$ なので下に凸（上に凹）。

したがって、

- $x < 0$, $1 < x$ で下に凸

- $0 < x < 1$ で上に凸

3. 最終的な答え

- [1] 0

- [2] 1

- [3] 下

- [4] 0

- [5] 1

- [6] 上