以下の4つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-2}^{3} dx$ (2) $\int_{3}^{-1} xdx$ (3) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 3) dx$ (4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin x dx$

はい、承知いたしました。画像に写っている定積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-2}^{3} dx$

(2) $\int_{3}^{-1} xdx$

(3) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 3) dx$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-2}^{3} dx$

定数関数の積分なので、

$\int_{-2}^{3} dx = [x]_{-2}^{3} = 3 - (-2) = 5$

(2) $\int_{3}^{-1} xdx$

$x$の積分は$\frac{x^2}{2}$なので、

$\int_{3}^{-1} xdx = [\frac{x^2}{2}]_{3}^{-1} = \frac{(-1)^2}{2} - \frac{3^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} = -\frac{8}{2} = -4$

(3) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 3) dx$

各項を積分します。

$\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 3) dx = [x^3 - x^2 + 3x]_{1}^{2} = (2^3 - 2^2 + 3(2)) - (1^3 - 1^2 + 3(1)) = (8 - 4 + 6) - (1 - 1 + 3) = 10 - 3 = 7$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin x dx$

$\sin x$の積分は$-\cos x$なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = -\cos(\frac{\pi}{6}) - (-\cos(0)) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{-2}^{3} dx = 5$

(2) $\int_{3}^{-1} xdx = -4$

(3) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 3) dx = 7$

(4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin x dx = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$