定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx$ を計算しなさい。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算しやすい形に変形します。$\frac{1}{\sqrt{x^3}}$ は $x^{-\frac{3}{2}}$ と書けます。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} x^{-\frac{3}{2}} dx$

次に、不定積分を計算します。

$x^{-\frac{3}{2}}$ の不定積分は、べきの公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いて計算できます。

$\int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{3}{2} + 1}}{-\frac{3}{2} + 1} + C = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C = -2x^{-\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} x^{-\frac{3}{2}} dx = \left[-\frac{2}{\sqrt{x}}\right]_{1}^{4}$

次に、積分の上端と下端での値を計算します。

$-\frac{2}{\sqrt{4}} = -\frac{2}{2} = -1$

$-\frac{2}{\sqrt{1}} = -\frac{2}{1} = -2$

したがって、定積分は次のようになります。

$\left[-\frac{2}{\sqrt{x}}\right]_{1}^{4} = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx = 1$

「オ」に入るのは $-\frac{2}{\sqrt{x}}$ です。

「カ」に入るのは $1$ です。