与えられた文章の空欄を埋める問題です。極限に関する基本的な定義や性質を理解しているかを問う内容となっています。

1. 問題の内容

与えられた文章の空欄を埋める問題です。極限に関する基本的な定義や性質を理解しているかを問う内容となっています。

2. 解き方の手順

(1)

* $x$ が $a$ に限りなく近づくとき、$f(x)$ が $\alpha$ に限りなく近づくことを、$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$ と表します。

* $\alpha$ は $f(x)$ の $a$ での **極限値** といいます。

* 関数 $f(x) = \frac{x+5}{x^2 + x + 1}$ は $x \to 1$ のとき、$\frac{1+5}{1+1+1} = \frac{6}{3} = 2$ に収束します。よって、$\lim_{x \to 1} \frac{x+5}{x^2 + x + 1} = 2$ と表します。

(2)

* $x$ が限りなく大きく(または、小さく)なることを $x \to \infty$ (または、$x \to -\infty$) で表します。

* 例えば、$x$ が限りなく大きくなるとき、関数 $f(x) = x^2$ の値も限りなく大きくなるので、$\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$ と表します。

(3)

* 変数 $x$ が $x < a$ (または、$x > a$) を保ちながら $a$ に限りなく近づくとき、$x \to a-0$ (または、$x \to a+0$) で表します。

* そして、そのとき、関数 $y = f(x)$ が $\alpha$ に限りなく近づくならば、$\alpha$ を $f(x)$ の $a$ での左側極限値 (右側極限値) といいます。

(4)

* 収束しないとき、**発散** するといいます。特に、$x \to a$ ($a = \pm \infty$ の場合も含める) のとき $f(x)$ の値が限りなく大きく(または、小さく)なるとき、$f(x)$ は $\infty$ (または、$-\infty$) に発散するといい、記号で $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ (または、$\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$) と表します。

(5)

* 例えば、関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の $x = 0$ での左側極限と右側極限は、それぞれ $-\infty$ と $\infty$ なので、式で表すと、それぞれ、$\lim_{x \to 0-0} \frac{1}{x} = -\infty$ , $\lim_{x \to 0+0} \frac{1}{x} = \infty$ である。

(6) $k \in \mathbb{R}$ を定数とします。$\lim_{x \to a} f(x)$ と $\lim_{x \to a} g(x)$ が存在するとき、数列の極限と同様に、次の性質が成り立つ。

* $\lim_{x \to a} (kf(x)) = k \lim_{x \to a} f(x)$

* $\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$

* $\lim_{x \to a} (f(x)g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$

* $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$ ($\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$ のとき)

(7) $a$ に十分近い $x$ に対して常に $f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ であり、かつ、$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \alpha$ ならば、$\lim_{x \to a} h(x) = \alpha$ が成り立つ。これを挟みうちの原理という。

3. 最終的な答え

(1) 極限値, $\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$, 2, $\lim_{x \to 1} \frac{x+5}{x^2+x+1} = 2$

(2) $\infty$, $-\infty$, $\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$

(3) $a-0$, $a+0$

(4) 発散, $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$

(5) $-\infty$, $\infty$, $\lim_{x \to 0-0} \frac{1}{x} = -\infty$, $\lim_{x \to 0+0} \frac{1}{x} = \infty$

(6) $k \lim_{x \to a} f(x)$, $\lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$, $\lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$, $\frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$

(7) $\alpha$