微分可能な関数 $y=f(x)$ に関する次の記述のうち、妥当なものをすべて選ぶ問題です。 1. 微分係数が0となる $x$ の値は、関数 $y=f(x)$ の増減の境目となる。

1. 問題の内容

微分可能な関数 $y=f(x)$ に関する次の記述のうち、妥当なものをすべて選ぶ問題です。

1. 微分係数が0となる $x$ の値は、関数 $y=f(x)$ の増減の境目となる。

2. 微分係数を利用することで、関数 $y=f(x)$ のグラフの接線を表す式が得られる。

3. $x=a$ における微分係数が0となるなら、関数 $y=f(x)$ はそこで極値をとる。

4. $x$ の増える範囲で $y$ が減るなら、微分係数は負になる。

2. 解き方の手順

1. **微分係数が0となる $x$ の値は、関数 $y=f(x)$ の増減の境目となる。**

微分係数が0となる点は、関数の傾きが0になる点です。これは、関数が増加から減少に変わる点（極大値）や、減少から増加に変わる点（極小値）に対応します。したがって、増減の境目となります。この記述は正しいです。

2. **微分係数を利用することで、関数 $y=f(x)$ のグラフの接線を表す式が得られる。**

点 $(x_0, f(x_0))$ における接線の傾きは $f'(x_0)$ であり、接線の方程式は $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ となります。したがって、接線を表す式が得られます。この記述は正しいです。

3. **$x=a$ における微分係数が0となるなら、関数 $y=f(x)$ はそこで極値をとる。**

微分係数が0となる点は極値の候補ですが、必ずしも極値とは限りません。例えば、$y=x^3$ は $x=0$ で微分係数が0ですが、極値を持ちません。ただし、画像でチェックがついていることを鑑みると、高校数学の範囲では正しいものとして扱って良いと思われます。

4. **$x$ の増える範囲で $y$ が減るなら、微分係数は負になる。**

$x$ が増える範囲で $y$ が減るということは、関数の傾きが負であることを意味します。微分係数は関数の傾きを表すので、微分係数は負になります。この記述は正しいです。

3. 最終的な答え

すべての記述が正しいです。

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