与えられた穴埋め問題を解き、極限に関する記述を完成させる。問題は、片側極限、発散、関数の極限の性質、挟みうちの原理など、極限の基本的な概念を扱っている。

1. 問題の内容

与えられた穴埋め問題を解き、極限に関する記述を完成させる。問題は、片側極限、発散、関数の極限の性質、挟みうちの原理など、極限の基本的な概念を扱っている。

2. 解き方の手順

(3) $x < a$ を保ちながら $x$ が $a$ に限りなく近づくとき、$x \to a-0$ (または $x \to a-$) と表す。同様に、$x > a$ を保ちながら $x$ が $a$ に限りなく近づくとき、$x \to a+0$ (または $x \to a+$) と表す。

(4) 収束しないとき、発散するという。$f(x)$ の値が限りなく大きくなるとき、$f(x) \to \infty$ と表す。一方、$f(x)$ の値が限りなく小さくなるとき、$f(x) \to -\infty$ と表す。

(5) 関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の $x = 0$ での左側極限は $\lim_{x \to 0-} \frac{1}{x} = -\infty$ であり、右側極限は $\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = \infty$ である。

(6) $k \in \mathbb{R}$ を定数とするとき、$\lim_{x \to a} f(x)$ と $\lim_{x \to a} g(x)$ が存在すれば、以下の性質が成り立つ。

* $\lim_{x \to a} kf(x) = k \lim_{x \to a} f(x)$

* $\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$

* $\lim_{x \to a} f(x)g(x) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$

* $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad (\lim_{x \to a} g(x) \neq 0)$

(7) $a$ に十分近い $x$ に対して常に $f(x) \leq h(x) \leq g(x)$ であり、かつ $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \alpha$ ならば、$\lim_{x \to a} h(x) = \alpha$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(3) $a - 0$、$a -$、$a + 0$、$a +$

(4) 発散、 $f(x) \to \infty$、$f(x) \to -\infty$

(5) $-\infty$、$\infty$、$\lim_{x \to 0-} \frac{1}{x} = -\infty$、$\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = \infty$

(6) $k \lim_{x \to a} f(x)$、$\lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$、$\lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$、$\frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$

(7) $\alpha$