次の極限を求めます。 (1) $\lim_{x\to 1} \left(\frac{2}{x+1} + 4x\right)$ (2) $\lim_{x\to 1+0} \frac{2}{1-x}$ (3) $\lim_{x\to -\infty} 2^x$ (4) $\lim_{x\to \infty} \log_2 x$ (5) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \tan x$ (6) $\lim_{x\to \infty} \arctan x$

## 問題の解答

以下に、画像に示された問題の解答を示します。

### 問題 2

1. **問題の内容**

次の極限を求めます。

(1) $\lim_{x\to 1} \left(\frac{2}{x+1} + 4x\right)$

(2) $\lim_{x\to 1+0} \frac{2}{1-x}$

(3) $\lim_{x\to -\infty} 2^x$

(4) $\lim_{x\to \infty} \log_2 x$

(5) $\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \tan x$

(6) $\lim_{x\to \infty} \arctan x$

2. **解き方の手順**

(1) $x$ を $1$ に近づけたときの極限を求めます。関数は連続なので、単純に $x = 1$ を代入できます。

$\lim_{x\to 1} \left(\frac{2}{x+1} + 4x\right) = \frac{2}{1+1} + 4(1) = \frac{2}{2} + 4 = 1 + 4 = 5$

(2) $x$ を $1$ に右から近づけたときの極限を求めます。$x$ が $1$ よりわずかに大きい場合、$1-x$ は負の非常に小さい値になります。したがって、$\frac{2}{1-x}$ は負の無限大に発散します。

$\lim_{x\to 1+0} \frac{2}{1-x} = -\infty$

(3) $x$ を負の無限大に近づけたときの極限を求めます。指数関数 $2^x$ は、$x$ が負の方向に大きくなるにつれて $0$ に近づきます。

$\lim_{x\to -\infty} 2^x = 0$

(4) $x$ を正の無限大に近づけたときの極限を求めます。対数関数 $\log_2 x$ は、$x$ が大きくなるにつれて無限大に発散します。

$\lim_{x\to \infty} \log_2 x = \infty$

(5) $x$ を $\frac{\pi}{2}$ に左から近づけたときの極限を求めます。$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であり、$x$ が $\frac{\pi}{2}$ に近づくと、$\sin x$ は $1$ に近づき、$\cos x$ は正の方向から $0$ に近づきます。したがって、$\tan x$ は正の無限大に発散します。

$\lim_{x\to \frac{\pi}{2}-0} \tan x = \infty$

(6) $x$ を正の無限大に近づけたときの極限を求めます。$\arctan x$ は、逆正接関数であり、$x$ が大きくなるにつれて $\frac{\pi}{2}$ に近づきます。

$\lim_{x\to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$

3. **最終的な答え**

(1) 5

(2) $-\infty$

(3) 0

(4) $\infty$

(5) $\infty$

(6) $\frac{\pi}{2}$

### 問題 3

1. **問題の内容**

はさみうちの原理を用いて、$\lim_{x\to 0} x \sin \frac{1}{x}$ を求めます。

2. **解き方の手順**

$-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$ は、すべての $x \neq 0$ で成立します。これに $x$ を掛けると、

$-|x| \le x\sin \frac{1}{x} \le |x|$

となります。ここで、$x \to 0$ のとき、 $-|x| \to 0$ かつ $|x| \to 0$ となるので、はさみうちの原理より、

$\lim_{x\to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$

3. **最終的な答え**

0

### 問題 4

1. **問題の内容**

次の不定形の極限を求めます。

(1) $\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}$

(2) $\lim_{x\to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$

(3) $\lim_{x\to \infty} \frac{2^x - 1}{2^x + 3}$

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{|x|}{x}$

2. **解き方の手順**

(1) 分子と分母を因数分解します。

$\lim_{x\to 2} \frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x\to 2} \frac{x}{x + 2} = \frac{2}{2 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) 分母を有理化します。

$\lim_{x\to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x\to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} - 1} = \lim_{x\to 1} (\sqrt{x} + 1) = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$

(3) 分子と分母を $2^x$ で割ります。

$\lim_{x\to \infty} \frac{2^x - 1}{2^x + 3} = \lim_{x\to \infty} \frac{1 - \frac{1}{2^x}}{1 + \frac{3}{2^x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

(4) $x \to 0$ のとき、$x$ が正と負の場合で分けて考えます。

$x \to 0+$ のとき、$\frac{|x|}{x} = \frac{x}{x} = 1$

$x \to 0-$ のとき、$\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$

右極限と左極限が異なるため、極限は存在しません。

3. **最終的な答え**

(1) $\frac{1}{2}$

(2) 2

(3) 1

(4) 極限は存在しない