問題は、関数 $f(x)$ について、極限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a)}{h}$ を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、関数 $f(x)$ について、極限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a)}{h}$ を求めるものです。

2. 解き方の手順

極限の定義を利用して解きます。関数の微分係数の定義を思い出すと、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

となります。

与えられた極限をこの形に近づけるために、分母を $3h$ にすることを考えます。

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a)}{3h} \cdot 3$

ここで、 $3h = k$ と置くと、$h \to 0$ のとき $k \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a)}{3h} = \lim_{k \to 0} \frac{f(a+k)-f(a)}{k} = f'(a)$

よって、

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a)}{h} = f'(a) \cdot 3 = 3f'(a)$

3. 最終的な答え

$3f'(a)$