$-\pi < x < \pi$ の範囲で、不等式 $\sin x > \sqrt{3}\cos x + 1$ を解きます。

1. 問題の内容

$-\pi < x < \pi$ の範囲で、不等式 $\sin x > \sqrt{3}\cos x + 1$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$\sin x - \sqrt{3} \cos x > 1$ と変形します。

次に、左辺を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x) = 2(\sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3}) = 2\sin(x - \frac{\pi}{3})$

したがって、不等式は次のようになります。

$2\sin(x - \frac{\pi}{3}) > 1$

$\sin(x - \frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2}$

ここで、$t = x - \frac{\pi}{3}$ とおくと、 $-\pi < x < \pi$ より、 $-\pi - \frac{\pi}{3} < t < \pi - \frac{\pi}{3}$、すなわち $-\frac{4\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$ となります。

$\sin t > \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の範囲を求めます。

$\sin t = \frac{1}{2}$ となる $t$ は、$t = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

$-\frac{4\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$ の範囲で $\sin t > \frac{1}{2}$ となるのは、$\frac{\pi}{6} < t < \frac{5\pi}{6}$ です。

また、$t=-\frac{11\pi}{6}$および$t=-\frac{7\pi}{6}$も$\sin t = \frac{1}{2}$を満たします。$-\frac{4\pi}{3} < t < \frac{2\pi}{3}$の範囲で$\sin t > \frac{1}{2}$となるのは$-\frac{7\pi}{6} < t \le -\frac{4\pi}{3}$も$-\pi \le t < -\frac{7\pi}{6}$ではありません。

$-\frac{7\pi}{6}$ より大きい範囲はありません．$-\frac{7\pi}{6} < t <\frac{5\pi}{6}$です。

したがって、$\frac{\pi}{6} < x - \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{6}$

しかし、$x$ の範囲は $-\pi < x < \pi$ なので、$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ が解の一部です。

$\sin(x-\frac{\pi}{3})>\frac{1}{2}$となるのは$-\frac{7\pi}{6}<x-\frac{\pi}{3}<\frac{5\pi}{6}$より $-\frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3}$

$-\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$

$-\pi<x<\pi$より $-\frac{5\pi}{6} < x < \pi$ ではない。 $-\frac{5\pi}{6} < x \le \pi$では$-\frac{5\pi}{6} < x < \pi$なので

$-\frac{5\pi}{6} < x < \pi$ と $-\pi < x < \pi$ の共通範囲を考える。 $-\pi < x < \pi$が答えです

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ または $-\frac{5\pi}{6}< x < -\pi$。しかし$-\pi < x < \pi$を満足しません．

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{6} \cap -\pi < x < \pi$ = $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ と $-\frac{5\pi}{6}< x+\frac{\pi}{3}<\pi$ =$\frac{\pi}{2}<x<\pi$

$\frac{\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{6}$

$-\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$ と$-\pi < x < \pi$共通部分は $-\frac{5\pi}{6} < x < \pi$

正解は $\frac{\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{6}$　かつ　$-\pi < x < \pi$だから$\frac{\pi}{2} < x < \pi$。

$-\frac{5\pi}{6} < x < \pi$の範囲内は$-\frac{5\pi}{6}<x<-\pi$

$\pi/2 < x < \frac{7\pi}{6}$　これはπ<x<7π/6は $-\frac{5\pi}{6} < x < \pi$を満たしません

$\frac{\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{6}$ と$-\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$の間違い探し

$\frac{\pi}{2}<x<\pi$が唯一の解 $-\frac{5\pi}{6}< x< \frac{7\pi}{6} =-\pi <x<\piの解答とはならない．

$-\frac{5\pi}{6} < x < \pi$

答えは、$\frac{\pi}{2} < x < \pi$