与えられた極限を計算する問題です。 $\lim_{x \to a} \frac{xf(a) - af(x)}{x-a}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$\lim_{x \to a} \frac{xf(a) - af(x)}{x-a}$

2. 解き方の手順

まず、分子に $-af(a) + af(a)$ を加えることで、式を操作しやすくします。

$\lim_{x \to a} \frac{xf(a) - af(a) + af(a) - af(x)}{x-a}$

次に、項を組み替えて、$x-a$ の項を作り出します。

$\lim_{x \to a} \frac{(x-a)f(a) - a(f(x) - f(a))}{x-a}$

それぞれの項を $x-a$ で割ります。

$\lim_{x \to a} \left( f(a) - a \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \right)$

ここで、$x \to a$ の極限をとると、$\frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ は $f'(a)$ になります。

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x \to a} \left( f(a) - a \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \right) = f(a) - af'(a)$

3. 最終的な答え

$f(a) - af'(a)$