媒介変数表示 $x = 2t - 1$, $y = 3 - 4t^2$ から $\frac{dy}{dx}$ を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

**問題2(a)**

1. 問題の内容

媒介変数表示 $x = 2t - 1$, $y = 3 - 4t^2$ から $\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分する。

$$\frac{dx}{dt} = 2$$

$$\frac{dy}{dt} = -8t$$

$\frac{dy}{dx}$ は $\frac{dy/dt}{dx/dt}$ で計算できる。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{-8t}{2} = -4t$$

$x = 2t - 1$ より、$t = \frac{x+1}{2}$。これを代入して $t$ を消去する。

$$\frac{dy}{dx} = -4\left(\frac{x+1}{2}\right) = -2(x+1) = -2x - 2$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -2x - 2$

**問題2(b)**

1. 問題の内容

媒介変数表示 $x = t - \cos t$, $y = t + \sin t$ から $\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分する。

$$\frac{dx}{dt} = 1 + \sin t$$

$$\frac{dy}{dt} = 1 + \cos t$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1 + \cos t}{1 + \sin t}$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 + \cos t}{1 + \sin t}$

**問題2(c)**

1. 問題の内容

媒介変数表示 $x = 4 \cos t$, $y = 3 \sin t$ から $\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分する。

$$\frac{dx}{dt} = -4 \sin t$$

$$\frac{dy}{dt} = 3 \cos t$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3 \cos t}{-4 \sin t} = -\frac{3}{4} \cot t$$

$x = 4 \cos t$ より $\cos t = \frac{x}{4}$。

$y = 3 \sin t$ より $\sin t = \frac{y}{3}$。

$\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$ なので、$\cot t = \frac{x/4}{y/3} = \frac{3x}{4y}$。

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{3x}{4y} = -\frac{9x}{16y}$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{16y}$

**問題2(d)**

1. 問題の内容

媒介変数表示 $x = \sqrt{t+2}$, $y = t-1$ から $\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

$x$ と $y$ をそれぞれ $t$ で微分する。

$$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{t+2}}$$

$$\frac{dy}{dt} = 1$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{t+2}}} = 2\sqrt{t+2}$$

$x = \sqrt{t+2}$なので、

$$\frac{dy}{dx} = 2x$$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2x$

**問題3(a)**

1. 問題の内容

陰関数 $4x^2 + y^2 - 8 = 0$ の導関数 $y'$ を $x$ と $y$ で表す。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ で微分する。

$$\frac{d}{dx}(4x^2 + y^2 - 8) = 0$$

$$8x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

$$2y \frac{dy}{dx} = -8x$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{8x}{2y} = -\frac{4x}{y}$$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{4x}{y}$

**問題3(b)**

1. 問題の内容

陰関数 $x^2 + 3xy - y^2 + 5 = 0$ の導関数 $y'$ を $x$ と $y$ で表す。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ で微分する。

$$\frac{d}{dx}(x^2 + 3xy - y^2 + 5) = 0$$

$$2x + 3(y + x\frac{dy}{dx}) - 2y\frac{dy}{dx} = 0$$

$$2x + 3y + 3x\frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx} = 0$$

$$(3x - 2y)\frac{dy}{dx} = -2x - 3y$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 3y}{3x - 2y} = -\frac{2x + 3y}{3x - 2y}$$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{2x + 3y}{3x - 2y}$

**問題3(c)**

1. 問題の内容

陰関数 $\log x + e^y + 7 = 0$ の導関数 $y'$ を $x$ と $y$ で表す。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ で微分する。

$$\frac{d}{dx}(\log x + e^y + 7) = 0$$

$$\frac{1}{x} + e^y \frac{dy}{dx} = 0$$

$$e^y \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x}$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{xe^y}$$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{1}{xe^y}$

**問題3(d)**

1. 問題の内容

陰関数 $\sin y + \cos x = 0$ の導関数 $y'$ を $x$ と $y$ で表す。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ で微分する。

$$\frac{d}{dx}(\sin y + \cos x) = 0$$

$$\cos y \frac{dy}{dx} - \sin x = 0$$

$$\cos y \frac{dy}{dx} = \sin x$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{\cos y}$$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{\sin x}{\cos y}$