連続関数 $f(x)$ が次の積分方程式を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。 $f(x) = \int_0^2 xf''(t)dt + \int_0^x e^{x-t}dt$

1. 問題の内容

連続関数 $f(x)$ が次の積分方程式を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。

$f(x) = \int_0^2 xf''(t)dt + \int_0^x e^{x-t}dt$

2. 解き方の手順

(1) 第一項の積分を計算する。

$\int_0^2 xf''(t)dt = x \int_0^2 f''(t)dt = x[f'(t)]_0^2 = x(f'(2) - f'(0))$

(2) 第二項の積分を計算する。

$\int_0^x e^{x-t}dt = e^x \int_0^x e^{-t}dt = e^x [-e^{-t}]_0^x = e^x(-e^{-x} + e^0) = e^x(-e^{-x} + 1) = e^x - 1$

(3) 積分方程式を書き換える。

$f(x) = x(f'(2) - f'(0)) + e^x - 1$

ここで $f'(2) - f'(0)$ は定数なので、$A = f'(2) - f'(0)$ とおくと、

$f(x) = Ax + e^x - 1$

(4) $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = A + e^x$

(5) $f'(0)$ と $f'(2)$ を計算する。

$f'(0) = A + e^0 = A + 1$

$f'(2) = A + e^2$

(6) $A = f'(2) - f'(0)$ に $f'(0)$ と $f'(2)$ を代入する。

$A = (A + e^2) - (A + 1)$

$A = A + e^2 - A - 1$

$A = e^2 - 1 - A$

$A = e^2 - 1$

(7) $f(x)$ を求める。

$f(x) = (e^2 - 1)x + e^x - 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = (e^2 - 1)x + e^x - 1$