極限値 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{4n^2 - k^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限値 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{4n^2 - k^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた和を積分で近似できるように変形する。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{4n^2 - k^2} = \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2(4 - (k/n)^2)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{4 - (k/n)^2}$

ここで、$x_k = k/n$ とおくと、$\Delta x = 1/n$ となる。したがって、この和はリーマン和とみなせる。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{4 - (k/n)^2} = \int_0^1 \frac{1}{4 - x^2} dx$

次に、この積分を計算する。部分分数分解を用いる。

$\frac{1}{4 - x^2} = \frac{1}{(2 - x)(2 + x)} = \frac{A}{2 - x} + \frac{B}{2 + x}$

$1 = A(2 + x) + B(2 - x)$

$x = -2$ のとき $1 = B(4)$ より $B = 1/4$

$x = 2$ のとき $1 = A(4)$ より $A = 1/4$

したがって、

$\frac{1}{4 - x^2} = \frac{1/4}{2 - x} + \frac{1/4}{2 + x} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2 - x} + \frac{1}{2 + x} \right)$

よって、

$\int_0^1 \frac{1}{4 - x^2} dx = \frac{1}{4} \int_0^1 \left( \frac{1}{2 - x} + \frac{1}{2 + x} \right) dx = \frac{1}{4} \left[ -\ln|2 - x| + \ln|2 + x| \right]_0^1$

$= \frac{1}{4} \left[ \ln\left| \frac{2 + x}{2 - x} \right| \right]_0^1 = \frac{1}{4} \left( \ln\left( \frac{3}{1} \right) - \ln\left( \frac{2}{2} \right) \right) = \frac{1}{4} (\ln 3 - \ln 1) = \frac{1}{4} \ln 3$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} \ln 3$