与えられた極限を求めます。 (1) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+2x} - x)$ (2) $\lim_{x\to-\infty} (\sqrt{4x^2+2x} + 2x)$

1. 問題の内容

与えられた極限を求めます。

(1) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+2x} - x)$

(2) $\lim_{x\to-\infty} (\sqrt{4x^2+2x} + 2x)$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+2x} - x)$

まず、$\sqrt{x^2+2x} - x$ に $\frac{\sqrt{x^2+2x} + x}{\sqrt{x^2+2x} + x}$ を掛けます。

$\frac{(\sqrt{x^2+2x} - x)(\sqrt{x^2+2x} + x)}{\sqrt{x^2+2x} + x} = \frac{(x^2+2x) - x^2}{\sqrt{x^2+2x} + x} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x} + x}$

次に、分母と分子を $x$ で割ります。$x>0$であることに注意すると、$\sqrt{x^2}=x$です。

$\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x} + x} = \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1}$

$x\to\infty$ のとき $\frac{2}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}} + 1} = \frac{2}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$

(2) $\lim_{x\to-\infty} (\sqrt{4x^2+2x} + 2x)$

まず、$\sqrt{4x^2+2x} + 2x$ に $\frac{\sqrt{4x^2+2x} - 2x}{\sqrt{4x^2+2x} - 2x}$ を掛けます。

$\frac{(\sqrt{4x^2+2x} + 2x)(\sqrt{4x^2+2x} - 2x)}{\sqrt{4x^2+2x} - 2x} = \frac{(4x^2+2x) - 4x^2}{\sqrt{4x^2+2x} - 2x} = \frac{2x}{\sqrt{4x^2+2x} - 2x}$

次に、分母と分子を $x$ で割ります。$x<0$であることに注意すると、$\sqrt{x^2}=-x$です。したがって$\sqrt{4x^2} = \sqrt{4}\sqrt{x^2} = 2|x| = -2x$です。

$\frac{2x}{\sqrt{4x^2+2x} - 2x} = \frac{2}{\frac{\sqrt{4x^2+2x}}{x} - 2} = \frac{2}{-\sqrt{4+\frac{2}{x}} - 2}$

$x\to-\infty$ のとき $\frac{2}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x\to-\infty} \frac{2}{-\sqrt{4+\frac{2}{x}} - 2} = \frac{2}{-\sqrt{4+0} - 2} = \frac{2}{-2 - 2} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $1$

(2) $-\frac{1}{2}$