問題は、$I_n = \int \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ という積分を計算する問題です。特に、$I_3$ の値を求めることが目的です。画像には、$I_n$ の漸化式と、$I_1$ および $I_3$ の計算過程が示されています。

1. 問題の内容

問題は、$I_n = \int \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ という積分を計算する問題です。特に、$I_3$ の値を求めることが目的です。画像には、$I_n$ の漸化式と、$I_1$ および $I_3$ の計算過程が示されています。

2. 解き方の手順

まず、$I_n$ の漸化式が与えられています。

$I_{n+1} = \frac{1}{2n} (\frac{x}{(1+x^2)^n} + (2n-1)I_n)$

この漸化式を使って、$I_3$ を計算します。

$I_3$ を求めるには、$I_2$ の値が必要になります。漸化式から $I_2$ を求めるために $n=1$ を代入します。

$I_2 = \frac{1}{2(1)} (\frac{x}{(1+x^2)^1} + (2(1)-1)I_1) = \frac{1}{2} (\frac{x}{1+x^2} + I_1)$

また、$I_1 = \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x$ であることが与えられています。

したがって、$I_2 = \frac{1}{2} (\frac{x}{1+x^2} + \arctan x)$ となります。

次に、漸化式に $n=2$ を代入して、$I_3$ を求めます。

$I_3 = \frac{1}{2(2)} (\frac{x}{(1+x^2)^2} + (2(2)-1)I_2) = \frac{1}{4} (\frac{x}{(1+x^2)^2} + 3I_2)$

$I_2$ の値を代入します。

$I_3 = \frac{1}{4} (\frac{x}{(1+x^2)^2} + 3(\frac{1}{2} (\frac{x}{1+x^2} + \arctan x)))$

$I_3 = \frac{1}{4} (\frac{x}{(1+x^2)^2} + \frac{3}{2} \frac{x}{1+x^2} + \frac{3}{2} \arctan x)$

$I_3 = \frac{x}{4(1+x^2)^2} + \frac{3x}{8(1+x^2)} + \frac{3}{8} \arctan x$

3. 最終的な答え

$I_3 = \frac{x}{4(1+x^2)^2} + \frac{3x}{8(1+x^2)} + \frac{3}{8} \arctan x$