関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ の極大値と極小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ の極大値と極小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. まず、関数 $f(x)$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

2. 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは極値の候補となる点です。

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

したがって、$x = 1, 3$ が極値の候補です。

3. 次に、それぞれの $x$ の値が極大値を与えるか極小値を与えるかを判断するために、$f'(x)$ の符号の変化を調べます。$x<1$ では例えば$x=0$を考えると $f'(0) = 9 > 0$。$1<x<3$ では例えば$x=2$を考えると $f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3 < 0$。$x>3$では例えば$x=4$を考えると $f'(4) = 48 - 48 + 9 = 9 > 0$。

- $x < 1$ のとき、$f'(x) > 0$

- $1 < x < 3$ のとき、$f'(x) < 0$

- $x > 3$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x=1$ で極大、$x=3$ で極小となることがわかります。

4. $x=1$ のときの $f(x)$ の値を求めます。これが極大値です。

$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$

したがって、極大値は 5 です。

5. $x=3$ のときの $f(x)$ の値を求めます。これが極小値です。

$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$

したがって、極小値は 1 です。

3. 最終的な答え

極大値: 5 ($x=1$)

極小値: 1 ($x=3$)