領域 $D = \{(x, y) | (x-2)^2 + y^2 \le 1\}$ 上で、$x^2$ の重積分 $\iint_D x^2 dxdy$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | (x-2)^2 + y^2 \le 1\}$ 上で、$x^2$ の重積分 $\iint_D x^2 dxdy$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

領域 $D$ は、中心が $(2, 0)$ で半径が $1$ の円の内部（境界を含む）です。この積分を計算するために、極座標変換を行います。

$x - 2 = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

とすると、

$x = r \cos \theta + 2$

$y = r \sin \theta$

となり、積分領域 $D$ は $0 \le r \le 1$、$0 \le \theta \le 2\pi$ で表されます。

また、ヤコビアンは $r$ となります。したがって、

$\iint_D x^2 dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r \cos \theta + 2)^2 r dr d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^2 \cos^2 \theta + 4r \cos \theta + 4) r dr d\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^3 \cos^2 \theta + 4r^2 \cos \theta + 4r) dr d\theta$

$= \int_0^{2\pi} [\frac{1}{4}r^4 \cos^2 \theta + \frac{4}{3}r^3 \cos \theta + 2r^2]_0^1 d\theta$

$= \int_0^{2\pi} (\frac{1}{4} \cos^2 \theta + \frac{4}{3} \cos \theta + 2) d\theta$

$= \int_0^{2\pi} (\frac{1}{4} \cdot \frac{1 + \cos 2\theta}{2} + \frac{4}{3} \cos \theta + 2) d\theta$

$= \int_0^{2\pi} (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cos 2\theta + \frac{4}{3} \cos \theta + 2) d\theta$

$= [\frac{1}{8}\theta + \frac{1}{16} \sin 2\theta + \frac{4}{3} \sin \theta + 2\theta]_0^{2\pi}$

$= (\frac{1}{8} \cdot 2\pi + 0 + 0 + 4\pi) - (0 + 0 + 0 + 0)$

$= \frac{\pi}{4} + 4\pi$

$= \frac{17\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{17\pi}{4}$