与えられた3つの関数について、極値を求め、グラフの概形を描く問題です。関数は以下の通りです。 (1) $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 3$ (2) $y = x^4 - 2x^3$ (3) $y = x^4 - 4x^3 + 4x^2$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、極値を求め、グラフの概形を描く問題です。関数は以下の通りです。

(1) $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 3$

(2) $y = x^4 - 2x^3$

(3) $y = x^4 - 4x^3 + 4x^2$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で極値を求めます。

1. 導関数を計算する。

2. 導関数が0になる$x$の値を求める。 (臨界点)

3. 第二導関数を計算する。

4. 各臨界点における第二導関数の符号を調べる。

* 第二導関数が正ならば、その点は極小値を与える。

* 第二導関数が負ならば、その点は極大値を与える。

* 第二導関数が0ならば、その点では判別できない。

5. 極値を与える$x$の値を元の関数に代入して、極値を求める。

6. 極値と関数の形状に基づいてグラフの概形を描く。

(1) $y = x^3 - 6x^2 + 9x - 3$

* $y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$

* $y' = 0$ となるのは $x=1$ または $x=3$

* $y'' = 6x - 12$

* $x=1$ のとき、$y'' = 6(1) - 12 = -6 < 0$ なので、極大値を与える。$y(1) = 1 - 6 + 9 - 3 = 1$

* $x=3$ のとき、$y'' = 6(3) - 12 = 6 > 0$ なので、極小値を与える。$y(3) = 27 - 54 + 27 - 3 = -3$

(2) $y = x^4 - 2x^3$

* $y' = 4x^3 - 6x^2 = 2x^2(2x - 3)$

* $y' = 0$ となるのは $x=0$ または $x=3/2$

* $y'' = 12x^2 - 12x = 12x(x - 1)$

* $x=0$ のとき、$y'' = 0$ なので、この点では判別できない。$y(0) = 0$

* $x=3/2$ のとき、$y'' = 12(3/2)(3/2 - 1) = 12(3/2)(1/2) = 9 > 0$ なので、極小値を与える。$y(3/2) = (3/2)^4 - 2(3/2)^3 = (81/16) - 2(27/8) = (81/16) - (108/16) = -27/16$

* $x=0$の近傍で、$y'$の符号を調べると、$x<0$で$y'>0$、$x>0$で$y'>0$となるため、$x=0$は変曲点

(3) $y = x^4 - 4x^3 + 4x^2$

* $y' = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2)$

* $y' = 0$ となるのは $x=0, 1, 2$

* $y'' = 12x^2 - 24x + 8$

* $x=0$ のとき、$y'' = 8 > 0$ なので、極小値を与える。$y(0) = 0$

* $x=1$ のとき、$y'' = 12 - 24 + 8 = -4 < 0$ なので、極大値を与える。$y(1) = 1 - 4 + 4 = 1$

* $x=2$ のとき、$y'' = 12(4) - 24(2) + 8 = 48 - 48 + 8 = 8 > 0$ なので、極小値を与える。$y(2) = 16 - 32 + 16 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $(1, 1)$, 極小値: $(3, -3)$

(2) 極小値: $(3/2, -27/16)$

(3) 極大値: $(1, 1)$, 極小値: $(0, 0)$, $(2, 0)$