定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \, dx$ を計算します。

## 問題 1

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\cos 2x$ の不定積分を求めます。$\int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C$ です。

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}$

$=\frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{6} \right) - \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 0)$

$=\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \sin 0$

$=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}}{4}$

## 問題 2

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-5}^{5} |x| \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

絶対値関数 $|x|$ は、$x < 0$ のとき $|x| = -x$ で、$x \ge 0$ のとき $|x| = x$ となります。したがって、積分を2つに分割します。

$\int_{-5}^{5} |x| \, dx = \int_{-5}^{0} -x \, dx + \int_{0}^{5} x \, dx$

まず、$\int_{-5}^{0} -x \, dx$ を計算します。$-x$ の不定積分は $-\frac{1}{2}x^2 + C$ です。

$\int_{-5}^{0} -x \, dx = \left[ -\frac{1}{2}x^2 \right]_{-5}^{0} = -\frac{1}{2}(0)^2 - \left( -\frac{1}{2}(-5)^2 \right) = 0 - \left( -\frac{25}{2} \right) = \frac{25}{2}$

次に、$\int_{0}^{5} x \, dx$ を計算します。$x$ の不定積分は $\frac{1}{2}x^2 + C$ です。

$\int_{0}^{5} x \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{5} = \frac{1}{2}(5)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = \frac{25}{2} - 0 = \frac{25}{2}$

最後に、2つの積分を足し合わせます。

$\int_{-5}^{5} |x| \, dx = \frac{25}{2} + \frac{25}{2} = \frac{50}{2} = 25$

3. 最終的な答え

25

## 問題 3

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} (7x + 3x^2) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$(7x + 3x^2)$ の不定積分を求めます。

$\int (7x + 3x^2) \, dx = \frac{7}{2}x^2 + x^3 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-2}^{2} (7x + 3x^2) \, dx = \left[ \frac{7}{2}x^2 + x^3 \right]_{-2}^{2}$

$= \left( \frac{7}{2}(2)^2 + (2)^3 \right) - \left( \frac{7}{2}(-2)^2 + (-2)^3 \right)$

$= \left( \frac{7}{2}(4) + 8 \right) - \left( \frac{7}{2}(4) + (-8) \right)$

$= (14 + 8) - (14 - 8)$

$= 22 - 6 = 16$

3. 最終的な答え

16