3つの定積分の値を計算します。 (1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \, dx$ (2) $\int_{-5}^{5} |x| \, dx$ (3) $\int_{-2}^{2} (7x + 3x^2) \, dx$

はい、承知いたしました。3つの定積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

3つの定積分の値を計算します。

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \, dx$

(2) $\int_{-5}^{5} |x| \, dx$

(3) $\int_{-2}^{2} (7x + 3x^2) \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \, dx$

$\cos 2x$ の原始関数は $\frac{1}{2}\sin 2x$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{1}{2}\sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}\sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2}\sin(0) = \frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

(2) $\int_{-5}^{5} |x| \, dx$

$|x|$ は $x$ が正のとき $x$ に等しく、$x$ が負のとき $-x$ に等しい。

したがって、積分を2つに分割する必要があります。

$\int_{-5}^{5} |x| \, dx = \int_{-5}^{0} -x \, dx + \int_{0}^{5} x \, dx = \left[ -\frac{1}{2}x^2 \right]_{-5}^{0} + \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{5} = \left( 0 - \left( -\frac{1}{2}(-5)^2 \right) \right) + \left( \frac{1}{2}(5)^2 - 0 \right) = \frac{25}{2} + \frac{25}{2} = 25$

あるいは、$|x|$は偶関数なので、$\int_{-5}^{5} |x| \, dx = 2\int_{0}^{5} x \, dx = 2\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^5 = 2\left(\frac{25}{2}\right) = 25$

(3) $\int_{-2}^{2} (7x + 3x^2) \, dx$

$\int_{-2}^{2} (7x + 3x^2) \, dx = \left[ \frac{7}{2}x^2 + x^3 \right]_{-2}^{2} = \left( \frac{7}{2}(2)^2 + (2)^3 \right) - \left( \frac{7}{2}(-2)^2 + (-2)^3 \right) = \left( \frac{7}{2}(4) + 8 \right) - \left( \frac{7}{2}(4) - 8 \right) = (14 + 8) - (14 - 8) = 22 - 6 = 16$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{4}$

(2) 25

(3) 16