与えられた複数の数学の問題を解く。問題は極限、微分、連続性、および滑らかな関数に関するものである。

1. 問題の内容

与えられた複数の数学の問題を解く。問題は極限、微分、連続性、および滑らかな関数に関するものである。

2. 解き方の手順

問題を一つずつ解いていく。

(1) 極限の計算:

(a) $\lim_{x \to 3} \frac{x}{(x-3)^2}$

$x$が3に近づくとき、分母$(x-3)^2$は0に近づく。分子は3に近づく。したがって、極限は$\infty$に発散する。

(b) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 5x}{2x^2}$

分子と分母を$x^2$で割ると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x + \frac{5}{x}}{2}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{5}{x} \to 0$となるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{2} = \lim_{x \to \infty} 2x = \infty$

(2) 関数の極限:

$f(x) = \frac{|x-2|(x-3)}{x-2} \ (x \neq 2)$

(a) $\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} \frac{(x-2)(x-3)}{x-2} = \lim_{x \to 2+0} (x-3) = 2-3 = -1$

(b) $\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2-0} \frac{-(x-2)(x-3)}{x-2} = \lim_{x \to 2-0} -(x-3) = -(2-3) = 1$

(3) 極限の計算:

$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) \tan(\frac{1}{x})$

$\tan(\frac{1}{x}) = \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\cos(\frac{1}{x})}$を使うと

$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\cos(\frac{1}{x})} = \lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x})$

$-1 \le \sin(\frac{1}{x}) \le 1$なので、$-|x| \le x\sin(\frac{1}{x}) \le |x|$となる。

$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$ and $\lim_{x \to 0} |x| = 0$なので、挟み撃ちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$

(4) 微分:

(a) $y = x^2 \sin x$

$y' = 2x \sin x + x^2 \cos x$

(b) $y = \frac{x^3}{e^x}$

$y' = \frac{3x^2 e^x - x^3 e^x}{(e^x)^2} = \frac{x^2(3-x)}{e^x}$

(5) 微分:

(a) $y = (x^2 + 1)^{100}$

$y' = 100(x^2 + 1)^{99} (2x) = 200x(x^2 + 1)^{99}$

(b) $y = x - \log(x^2 + 2x)$

$y' = 1 - \frac{2x+2}{x^2+2x} = 1 - \frac{2(x+1)}{x(x+2)} = \frac{x(x+2)-2(x+1)}{x(x+2)} = \frac{x^2-2}{x^2+2x}$

(6) 微分:

$y = \arctan(2x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2 = \frac{2}{1+4x^2}$

(7) 連続性:

$f(x) = \frac{x^2+a}{x+1} \ (x \neq -1)$

$f(x)$が$x=-1$で連続であるためには、$\lim_{x \to -1} f(x)$が存在し、$f(-1)$と一致する必要がある。

$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x^2+a}{x+1}$が存在するためには、$x=-1$で分子が0になる必要がある。

$(-1)^2+a = 0 \implies a = -1$

$x^2-1 = (x+1)(x-1)$なので、

$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x-1)}{x+1} = \lim_{x \to -1} (x-1) = -2$

(1) $f$が$x=-1$で連続であるための必要条件は$a=-1$

(2) $f(-1)=-2$とすれば良い。

(8) 連続性と微分可能性:

$f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2}{|x|} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$

$f(x) = \begin{cases} 3x & x > 0 \\ -3x & x < 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$

(1) $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 3x = 0$

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} -3x = 0$

$f(0) = 0$

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$なので、$x=0$で連続

(2) $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{3h - 0}{h} = 3$

$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-3h - 0}{h} = -3$

右側極限と左側極限が異なるので、微分不可能。

(9) C^\infty級関数:

$f(x) = -\sin x$は、$C^\infty$級関数である。なぜなら、$-\sin x$は無限回微分可能であり、すべての導関数が存在し連続である。

3. 最終的な答え

1. (1) (a) $\infty$ (b) $\infty$

2. (a) -1 (b) 1

3. 0

4. (1) $2x\sin x + x^2\cos x$ (2) $\frac{x^2(3-x)}{e^x}$

5. (1) $200x(x^2+1)^{99}$ (2) $\frac{x^2-2}{x^2+2x}$

6. $\frac{2}{1+4x^2}$

7. (1) $a = -1$ (2) $f(-1) = -2$

8. (1) 連続 (2) 微分不可能

9. $f(x)=-\sin x$は$C^\infty$級関数である