関数 $f(x) = 12x - x^3$ の極大値、極小値と、それらを与える $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 12x - x^3$ の極大値、極小値と、それらを与える $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(12x - x^3) = 12 - 3x^2$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$12 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

(3) $f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = \frac{d}{dx}(12 - 3x^2) = -6x$

(4) $x = 2$ のとき、$f''(2) = -6(2) = -12 < 0$ なので、$x=2$ で極大値をとります。

$f(2) = 12(2) - (2)^3 = 24 - 8 = 16$

(5) $x = -2$ のとき、$f''(-2) = -6(-2) = 12 > 0$ なので、$x=-2$ で極小値をとります。

$f(-2) = 12(-2) - (-2)^3 = -24 - (-8) = -24 + 8 = -16$

3. 最終的な答え

極大値: 16 ($x=2$)

極小値: -16 ($x=-2$)