自然数 $n$ に対して、以下の不等式を証明する問題です。 $2(\sqrt{n+1} - 1) < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \le 2\sqrt{n} - 1$

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、以下の不等式を証明する問題です。

$2(\sqrt{n+1} - 1) < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \le 2\sqrt{n} - 1$

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。

(1) $n = 1$ のとき

左辺： $2(\sqrt{1+1} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1) \approx 2(1.414 - 1) = 0.828$

中辺： $1$

右辺： $2\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1$

したがって、$0.828 < 1 \le 1$ となり、$n=1$ のとき不等式は成り立ちます。

(2) $n = k$ のとき不等式が成り立つと仮定します。

$2(\sqrt{k+1} - 1) < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} \le 2\sqrt{k} - 1$

(3) $n = k+1$ のとき不等式が成り立つことを示します。

$n=k+1$ のとき、示すべき不等式は以下のようになります。

$2(\sqrt{k+2} - 1) < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \le 2\sqrt{k+1} - 1$

まず、左側の不等式 $2(\sqrt{k+2} - 1) < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ を示します。

帰納法の仮定より、$2(\sqrt{k+1} - 1) < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}}$ ですから、これに $\frac{1}{\sqrt{k+1}}$ を加えると

$2(\sqrt{k+1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{k+1}} < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$

ここで、$2(\sqrt{k+2} - 1) < 2(\sqrt{k+1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ を示せば十分です。これは、$2(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}) < \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ を示すことと同値です。

$2(\sqrt{k+2} - \sqrt{k+1}) = 2 \frac{k+2 - (k+1)}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}} = \frac{2}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}}$

$\frac{2}{\sqrt{k+2} + \sqrt{k+1}} < \frac{2}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k+1}} = \frac{1}{\sqrt{k+1}}$

したがって、$2(\sqrt{k+2} - 1) < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$ が成り立ちます。

次に、右側の不等式 $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \le 2\sqrt{k+1} - 1$ を示します。

帰納法の仮定より、$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} \le 2\sqrt{k} - 1$ ですから、これに $\frac{1}{\sqrt{k+1}}$ を加えると

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \le 2\sqrt{k} - 1 + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$

ここで、$2\sqrt{k} - 1 + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \le 2\sqrt{k+1} - 1$ を示せば十分です。

これは、$2\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \le 2\sqrt{k+1}$ を示すことと同値です。

$2\sqrt{k} \sqrt{k+1} + 1 \le 2(k+1)$

$2\sqrt{k(k+1)} \le 2k+1$

$4k(k+1) \le (2k+1)^2$

$4k^2 + 4k \le 4k^2 + 4k + 1$

$0 \le 1$

これは常に成立します。

したがって、$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \le 2\sqrt{k+1} - 1$ が成り立ちます。

(1)(2)(3)より、すべての自然数 $n$ に対して、不等式が成り立つことが証明されました。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、$2(\sqrt{n+1} - 1) < 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \le 2\sqrt{n} - 1$ が成り立つ。