与えられた関数 $f(x, y) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f(x, y)$ の偏導関数 $\frac{\partial}{\partial x}f(x, y)$ と $\frac{\partial}{\partial y}f(x, y)$ を求める。 (2) $f(x, y)$ の臨界点をすべて求める。 (3) 臨界点において、$f(x, y)$ が極大値、極小値、鞍点のいずれをとるか、またはどれでもないかを判定する。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f(x, y)$ の偏導関数 $\frac{\partial}{\partial x}f(x, y)$ と $\frac{\partial}{\partial y}f(x, y)$ を求める。

(2) $f(x, y)$ の臨界点をすべて求める。

(3) 臨界点において、$f(x, y)$ が極大値、極小値、鞍点のいずれをとるか、またはどれでもないかを判定する。

2. 解き方の手順

(1) 偏導関数を求める。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5) = x^2 - 2x$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\frac{1}{3}x^3 - x^2 + y - \frac{1}{5}y^5) = 1 - y^4$

(2) 臨界点を求める。臨界点では、偏導関数が両方とも0になる。

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^2 - 2x = x(x - 2) = 0$ より、$x = 0$ または $x = 2$。

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - y^4 = 0$ より、$y^4 = 1$。したがって、$y = \pm 1$。

よって、臨界点は $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(2, 1)$, $(2, -1)$ の4点。

(3) ヘッセ行列を計算し、臨界点での極値を判定する。

まず、二階偏導関数を求める。

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - 2x) = 2x - 2$

$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(1 - y^4) = -4y^3$

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - 2x) = 0$

ヘッセ行列は次のようになる。

$H(x, y) = \begin{pmatrix} 2x - 2 & 0 \\ 0 & -4y^3 \end{pmatrix}$

ヘッセ行列式は $D(x, y) = (2x - 2)(-4y^3) = -8y^3(x - 1)$

各臨界点でのヘッセ行列式を計算する。

(i) $(0, 1)$ のとき、$D(0, 1) = -8(1)^3(0 - 1) = 8 > 0$。$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0, 1) = 2(0) - 2 = -2 < 0$ より、極大値をとる。

(ii) $(0, -1)$ のとき、$D(0, -1) = -8(-1)^3(0 - 1) = -8 < 0$。したがって、鞍点。

(iii) $(2, 1)$ のとき、$D(2, 1) = -8(1)^3(2 - 1) = -8 < 0$。したがって、鞍点。

(iv) $(2, -1)$ のとき、$D(2, -1) = -8(-1)^3(2 - 1) = 8 > 0$。$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(2, -1) = 2(2) - 2 = 2 > 0$ より、極小値をとる。

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^2 - 2x$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - y^4$

(2) 臨界点は $(0, 1)$, $(0, -1)$, $(2, 1)$, $(2, -1)$

(3)

$(0, 1)$ で極大値をとる。

$(0, -1)$ で鞍点である。

$(2, 1)$ で鞍点である。

$(2, -1)$ で極小値をとる。