与えられた4つの関数に対して、微分を計算し、$x=0$ における接線を求める。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数に対して、微分を計算し、$x=0$ における接線を求める。

2. 解き方の手順

1) $y = e^{-2x}$ の場合

* 微分：$y' = -2e^{-2x}$

* $x=0$ のときの $y$ の値：$y(0) = e^{0} = 1$

* $x=0$ のときの $y'$ の値：$y'(0) = -2e^{0} = -2$

* 接線の方程式：$y - y(0) = y'(0)(x - 0)$ より、 $y - 1 = -2(x - 0)$ すなわち $y = -2x + 1$

2) $y = (x+1)\log(x+1) - x$ の場合

* 微分：$y' = \log(x+1) + (x+1) \cdot \frac{1}{x+1} - 1 = \log(x+1) + 1 - 1 = \log(x+1)$

* $x=0$ のときの $y$ の値：$y(0) = (0+1)\log(0+1) - 0 = 1 \cdot \log(1) - 0 = 0$

* $x=0$ のときの $y'$ の値：$y'(0) = \log(0+1) = \log(1) = 0$

* 接線の方程式：$y - y(0) = y'(0)(x - 0)$ より、 $y - 0 = 0(x - 0)$ すなわち $y = 0$

3) $y = x\log(x^2+1)$ の場合

* 微分：$y' = \log(x^2+1) + x \cdot \frac{2x}{x^2+1} = \log(x^2+1) + \frac{2x^2}{x^2+1}$

* $x=0$ のときの $y$ の値：$y(0) = 0 \cdot \log(0^2+1) = 0 \cdot \log(1) = 0$

* $x=0$ のときの $y'$ の値：$y'(0) = \log(0^2+1) + \frac{2(0)^2}{0^2+1} = \log(1) + 0 = 0$

* 接線の方程式：$y - y(0) = y'(0)(x - 0)$ より、 $y - 0 = 0(x - 0)$ すなわち $y = 0$

4) $y = (x^2+1)e^x$ の場合

* 微分：$y' = 2xe^x + (x^2+1)e^x = (x^2 + 2x + 1)e^x = (x+1)^2 e^x$

* $x=0$ のときの $y$ の値：$y(0) = (0^2+1)e^0 = 1 \cdot 1 = 1$

* $x=0$ のときの $y'$ の値：$y'(0) = (0+1)^2 e^0 = 1 \cdot 1 = 1$

* 接線の方程式：$y - y(0) = y'(0)(x - 0)$ より、 $y - 1 = 1(x - 0)$ すなわち $y = x + 1$

3. 最終的な答え

1) 微分：$y' = -2e^{-2x}$、接線：$y = -2x + 1$

2) 微分：$y' = \log(x+1)$、接線：$y = 0$

3) 微分：$y' = \log(x^2+1) + \frac{2x^2}{x^2+1}$、接線：$y = 0$

4) 微分：$y' = (x+1)^2 e^x$、接線：$y = x + 1$