与えられた2階線形同次微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + y = 0$ の一般解を、特性方程式を用いて求める。

1. 問題の内容

与えられた2階線形同次微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + y = 0$ の一般解を、特性方程式を用いて求める。

2. 解き方の手順

(1) 微分方程式を $y'' + 2y' + y = 0$ と書き換える。

(2) 特性方程式を立てる。特性方程式は $r^2 + 2r + 1 = 0$ となる。

(3) 特性方程式を解く。

$r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0$

よって、$r = -1$ (重解)

(4) 特性方程式が重解を持つ場合、一般解は $y = (c_1 + c_2x)e^{rx}$ の形で表される。ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数、$r$ は重解である。

(5) 求めた重解 $r=-1$ を一般解の式に代入する。

$y = (c_1 + c_2x)e^{-x}$

3. 最終的な答え

$y = (c_1 + c_2x)e^{-x}$